Produit scalaire dans une base et un repère orthonormés

Définition

• On appelle  base orthonormée  de l'espace toute  base  \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  de l'espace telle que les vecteurs \(\overrightarrow{i}\) , \(\overrightarrow{j}\) et  \(\overrightarrow{k}\) sont deux à deux orthogonaux et \(||\overrightarrow{i}|| = ||\overrightarrow{j}|| = ||\overrightarrow{k}|| = 1\) .
  
• Un  repère \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)   de l'espace est dit  orthonormé si la base \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) est orthonormée.
  

Propriété

Soit \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormé de l'espace. So it  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y \\z \\ \end{pmatrix}\)  et  \(\displaystyle\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \\z' \\ \end{pmatrix}\) deux vecteurs. Alors on a :  \(\boxed{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} =xx'+yy'+zz'}\) .
En particulier : \(||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\) .

Démonstration

D'après une formule de polarisation, on a  \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right)\) .
Or  \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x+x'\\ y+y' \\z +z'\\ \end{pmatrix}\) , donc  \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2=(x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2\) .
De plus,  \(||\overrightarrow{u}||^2 = x^2+y^2+z^2\)  et, de même,  \(||\overrightarrow{v}||^2 = x'^2+y'^2+z'^2\) .
Alors 

\(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2 =\\ = (x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-(x^2+y^2+z^2)-(x'^2+y'^2+z'^2)\)
D'où  \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2 =\\ = (x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2\\= x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2+z^2+2zz'+z'^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2\\= 2xx'+2yy'+2zz'\\= 2(xx'+yy'+zz')\) D'où  \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(2(xx'+yy'+zz')\right) = xx'+yy'+zz'\) .

Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points \(\text A(-1~;~2~;-4)\) ,  \(\text B(-3~;~6~;~5)\) et \(\text C(1~;~1~;-1)\) . Calculer le produit scalaire \(\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}\) .

Solution
On a  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}} \begin{pmatrix} -2\\ 4 \\9 \\ \end{pmatrix}\)  et  \(\overrightarrow{\text A\text C} \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\3 \\ \end{pmatrix}\)
donc  \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C} = -2\times 2+4\times (-1)+9 \times 3=-4-4+27=19\) .